一维欧氏空间是啥？
一维欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。 这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。
一维欧氏空间是一个的特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。
欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的性质
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证明n维欧式空间是完备的度量空间？
我不提供完全详细的步骤，只提供思路。其实很简单，要证明完备度量空间，关键是证明该空间内的任意柯西列收敛于该空间中某点。实数域是完备的，（即柯西列收敛于实数轴某点）那么Rn空间上的距离平方d²＝∑（xi-yi）²，如果有d（Xn，Xm）按照n，m趋于无穷大趋向于0，那么对应在每一个分量坐标上有X（i，n）趋向于X（i，m），其中i表示Xn或者Xm的第i个分量坐标，根据实数里的Cauchy列原理立即得到Xn的每一个分量坐标收敛到固定的实数，从而Xn按照度量d收敛到Rn空间上的某一点X0
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